• Referate Anatomie
• Referate Astronomie
• Referate Automatica
• Referate Biologie
• Referate Chimie
• Referate Diverse
• Referate Drept
• Referate Economie
• Referate Engleza
• Referate Filosofie
• Referate Fizica
• Referate Franceza
• Referate Geografie
• Referate Germana
• Referate Informatica
• Referate Istorie
• Referate Marketing
• Matematica
• Referate Medicina
• Referate Muzica
• Referate Psihologie
• Referate Religie
• Referate Romana

Link sponsorizat :

Siruri de numere reale

In cadrul acestui prim material referitor la sirurile de numere reale, vom prezenta cateva dintre criteriile de convergenta de baza, urmate de exercitii rezolvate cu ajutorul acestora. Urmatoarele materiale vor trata:

calculul limitelor de siruri definite prin termenul general;
siruri definite prin recurenta.
(definitia convergentei)
.
Aceasta este de fapt o exprimare formala a definitiei cu vecinatati prezentate in manual.
).
Ex. rezolvat 1. Sa se arate, folosind definitia, ca:
Solutie. a) Trebuie sa aratam ca:
devine:
.
b) Trebuie sa aratam ca:
. Aceasta inegalitate devine:
Se calculeaza discriminantul trinomului de gradul al II-lea:
.
.
.
.

Observatie. Acest criteriu ne permite sa stabilim daca un sir cu termenul general specificat tinde sau nu la o limita de asemenea precizata. Nu putem determina efectiv valoarea limitei recurgand la acest criteriu.

B) Criteriul majorarii.
cu teremenii pozitivi este convergent la zero si are loc inegalitatea:
.
.
Ex. rezolvat 2. Utilizand criteriul majorarii, sa se arate ca:
cu binomul lui Newton:

. Suma tuturor termenilor fiind n, fiecare dintre acestia trebuie sa fie mai mic decat n. Scriem aceasta pentru termenul al treilea:

.
C) Criteriul clestelui
astfel incat:
.
sub o forma mai simpla. Observam insa ca:
. Rezulta de aici:
.

Observatie. Criteriul majorarii si cel al clestelui ne scot oarecum din incertitudine; ele permit calculul limitelor unor siruri pentru care putem stabili inegalitati in raport cu siruri cu limite cunoscute.

convergent la zero
.
este convergent la zero.
.
.
.
E) Criteriul subsirurilor

Daca doua subsiruri distincte ale unui sir dat au limite diferite (sau sirul dat contine un subsir a carui limita nu exista), atunci sirul dat nu are limita.

).
nu il acopera.
Ex. rezolvat 6. Sa se studieze convergenta sirurilor cu termenii generali:
Solutie. a) Sirul dat contine subsirurile:
. Prin urmare, sirul dat este divergent.
. Rezulta ca sirul este convergent la 1.
F) Monotonie + marginire.

Acesta este criteriul "clasic" al lui Weierstrass, aplicabil atat pentru siruri definite prin termenul general, cat si pentru siruri definite prin relatii de recurenta. Nu il mai amintim aici, deoarece este prezentat in toate manualele.

este convergent.

Solutie. Ce apare oarecum dificil aici este ca sirul implicat nu este definit strict prin formula termenului general sau relatie de recurenta. Sirul este caracterizat numai prin doua inegalitati, din care trebuie sa rezulte convergenta.

este strict descrescator.
este marginit inferior de 0. Conform criteriului lui Weierstrass, rezulta ca sirul este convergent.
.
. Din nefericire, simplificarea nu iese. Ce-i de facut ?
este strict descrescator.
si rezulta:
este suficient sa aratam ca:
, conform criteriului majorarii.
Despre studiul convergentei sirurilor definite recurent vom vorbi pe larg intr-un alt material.
Exercitii propuse
(`de caracterizare a limitei unui sir'), sa se arate ca:
.
(indicatie: nu incercati sa calculati sumele de sub radicali).
.
(vezi indicatia de la ex. 3)
Se considera sirul cu termenul general:
.
.
Sa se arate ca sirul este monoton si marginit;
.
. Sa se calculeze:
(indicatie: utilizati inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz)
este convergent si sa i se calculeze limita.
un sir de numere reale pozitive, astfel incat
.
)
verifica relatiile:
este dat.
.
convergent ?
Sa se studieze convergenta sirului
. Sa se arate ca
.
astfel incat. -... -...
...

Nota: Textul de mai sus reprezinta doar un extras din referat. Pentru versiunea completa a documentului apasa butonul Download.