• Referate Anatomie
• Referate Astronomie
• Referate Automatica
• Referate Biologie
• Referate Chimie
• Referate Diverse
• Referate Drept
• Referate Economie
• Referate Engleza
• Referate Filosofie
• Referate Fizica
• Referate Franceza
• Referate Geografie
• Referate Germana
• Referate Informatica
• Referate Istorie
• Referate Marketing
• Matematica
• Referate Medicina
• Referate Muzica
• Referate Psihologie
• Referate Religie
• Referate Romana

Link sponsorizat :

Progresii aritmetice

1. DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE

Un sir de numere (A1, A2, …, An; n> =1) in care fiecare termen incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant " r ", numit ratie, se numeste progresie aritmetica.

An+1 = An + r
2. NOTATIE: An -:
3. PROPRIETATI

P1: Intr-o progresie aritmetica termenul general An este egal cu primul termen plus de atatea ori ratia cati termeni sunt inaintea sa.

An = A1 + (n-1) * r
P2: Intr-o progresie aritmetica suma termenilor egali departati de extreme este egala cu suma extremelor.
A1 + An = A2 + An-1 = … = Ai + An-i+1

P3: Daca avem trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cel din mijloc este media aritmetica a celorlalti doi.

Ak = (Ak-1 + Ak+1) / 2
P4: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ultimul termen:
Sn = (A1 + An) *n / 2
P5: Suma termenilor a unei progresii aritmetice cand se da primul termen si ratia:
Sn = [ 2*A1 + (n-1)*r ]*n/2
4. APLICATII
1(pag71). Sa se scrie primii cinci termeni ai sirului, cu termenul al n-lea dat de formula:
a)
An = 2(la puterea „-n ")
A0 = 2(la puterea „0") = 1
A1 = 2(la puterea „-1") = 1/2
A2 = 2(la puterea „-2") = 1/4
A3 = 2(la puterea „-3") = 1/8
A4 = 2(la puterea „-4") = 1/16
A5 = 2(la puterea „-5") = 1/32
b)
Xn = 5+4*n
X0 = 5 X3 = 17
X1 = 9 X4 = 21
X2 = 13 X5 = 25
2(pag. 72). Sa se gaseasca formula termenului al n-lea (n> =1) pentru fiecare din sirurile:
a) 1, 3, 5, 7, 9, …; => An = A1 + (n-1)*r = 1 + (n-1)*2 = 2*n 1
b) 2, 4, 6, 8, 10, …; => An = A1 + (n-1)*r = 2 + (n-1)*2 = 2*n
c) 3, -3, 3, -3, …; => An = 3* (-1)(la puterea n)
d) 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, …; => An = 1/3(la puterea n)
3(pag. 72). Sirul (Xn), n> =1, are termenul general dat de formula
Xn = 6- 4*n. Este termen al acestui sir numarul:
a) -102 (DA)
6- 4*n = -102 => 4*n = 108 => n = 27
b) -132 (NU)
6- 4*n = -132 => 4*n = 138 => n = 138/4 (nu apartine numerelor naturale)
c) 100
6- 4*n = 100 => 4*n = -94 => n = -94/4 (nu apartine numerelor naturale)
7(pag. 72). Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice (An), daca:
a) A1 = 7, r = 2
A2 = A1 + r = 9
A3 = 11
A4 = 13
b) A1 = -3, r = 5
A2 = A1 + r = 2
A3 = 7
A4 = 12
16(pag. 73). Sa se rezolve ecuatiile:
a) 1 + 7 + 13 + … +X = 280
An = A1 + (n-1)*r
X = 1 + (n-1)*6
X = 6*n 5
Sn = (A1 + An)*n/2 = 280
(A1 + X)*n/2 = 280 => (1 + 6*n-5)*n/2 = 280
6*n(la puterea 2) -4*n -560 = 0
D = 3364
=> n1 = 10; n2 = -28 (nu convine)
=> X = 6*10 -5 = 55
b) (X + 1) + (X+ 4) + (X + 7) + … + (X + 28) = 155
An = A1 + (n-1)*r
X + 28 = X + 1 + (n-1)*3
27 = (n-1)*3 => n = 10
S10 = (A1 + A10)*10/2 = 155 => 2*X + 29 = 31 => X = 1

20(pag. 73). Suma primilor n termeni ai unui sir oarecare (Bn) este data de formula Sn = n(la puterea 2) -2*n + 5. Sa se gasesca primii patru termeni ai acestui sir. Este acest sir o progresie aritmetica.

S1 = A1
S2 = A1 + A2
S3 = A1 + A2 + A3
…
Sn-1 = A1 + A2 + … + An-1
Sn = A1 + A2 + … + An-1 + An
A1 = S1 = 4
A2 = S2 - S1 = 1
A3 = S3 - S2 = 3
A4 = S4 - S3 = 5
2*A2 = A1 + A3 => 2 = 3 + 4 (F)
=> Sirul nu este o progresie aritmetica
Progresii geomatrice
1. DEFINITIA PROGRESIEI GEOMETRICE
Fie un sir (Bn) n> =1, B1< > 0

Spunem ca termenii sirului (Bn) sunt in progresie geometrica daca fiecare termen incepand cu al doilea se obtine din precedentul inmultit cu un numar constant q > 0, numit ratie.

Bn = Bn-1 *q
2. NOTATIE:: -: (Bn) n> =1
3. PROPRIETATI

P1: Daca avem " n " termeni ai unei progresii geometrice atunci Bn este egal cu primul termen ori q la o putere de cati termeni sunt inaintea lui.

Bn = B1 *q(la puterea n-1)

P2: Daca B1, B2, …, Bn sunt " n " termeni ai unei progresii geometrice atunci produsul termenilor egali departati de extreme este egal cu produsul extremelor.

B1*Bn = B2*Bn-1 = … = Bi*Bn-i+1

P3: Daca Bk-1, Bk, Bk+1 sunt trei termeni consecutivi pozitivi ai unei progresii geometrice atunci cel din mijloc este media geometrica al celorlalti doi.

Bk(la puterea 2) = Bk-1*Bk+1

R3: Daca 3 termeni consecutivi ai unui sir de numere pozitive verifica relatia cel di mijloc este media geometrica a celorlalti doi atunci siruleste o progresie geometrica.

P4: Suma primilor " n " termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:
Sn = B1 * q(la puterea n)-1/q-1
4. APLICATII
26(pag. 73). Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (Bn) daca:
a) B1 = 6, q = 2
B2 = B1*q = 12
B3 = B2*q = 24
B4 = B3*q = 48
B5 = B4*q = 96
b) B2 = -10, q = 1/2
B1 = B2/q = -20
B3 = B2*q = -5
B4 = B3*q = -5/2
B5 = B4*q = -5/4
27(pag. 73). Sa se gaseasca primi doi termeni ai progresiei geometrice (Yn), data astfel:
a) Y1, Y2, 24, 36, 54, …;
36 = 24*q => q = 36/24 = 3/2
24 = Y2*q => 24 = Y2*3/2 => Y2 = 24*2/3 = 16
16 = Y1*q => 16 = Y1*3/2 => Y1 = 32/3
b) Y1, Y2, 225, -135, 81, …;
-135 = 225*q => q = -135/225 = -9/17
225 = Y2*q => 225 = Y2*-9/17 => Y2 = -425
-425 =...

Nota: Textul de mai sus reprezinta doar un extras din referat. Pentru versiunea completa a documentului apasa butonul Download.