• Referate Anatomie
• Referate Astronomie
• Referate Automatica
• Referate Biologie
• Referate Chimie
• Referate Diverse
• Referate Drept
• Referate Economie
• Referate Engleza
• Referate Filosofie
• Referate Fizica
• Referate Franceza
• Referate Geografie
• Referate Germana
• Referate Informatica
• Referate Istorie
• Referate Marketing
• Matematica
• Referate Medicina
• Referate Muzica
• Referate Psihologie
• Referate Religie
• Referate Romana

Link sponsorizat :

INTEGRALE DEFINITE

SUME RIEMANN
Definitie: Se da colectia de obiecte:
-
[a, b] interval inchis
-
diviziune a intervalului [a, b]
= (a=x0< x1< x2< …< xn=b)
-
f: [a, b]R
-
I un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul [a, b]
I [xi-1, xi]
Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii si sistemului de puncte intermedi-are I numarul notat:
n
(f, i) = f(i)*(xi-xi-1)
i=1
INTEGRALE IN SENS RIEMANN

Definitie: Se da f: [a, b]R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca if R a. i. > 0, > 0 cu proprietatea ca o diviziune a intervalului [a, b] si (i) un sistem de puncte intermediare, i [xi-1, xi] cu ||||< sa avem |(f, i) if |<.

if se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a, b]
b
notez: if = f(x)*dx.
a
b
Obs:
1) Numarul real if este unic; f(x)*dx este unica.
a
Demonstratie:

P. p. a. ca i1i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru > 0 k, > 0 (k=1, 2) astfel incat pentru orice diviziune:

=(x0, x1, …, xn) a lui [a, b] cu |||| < si orice puncte intermediare xi-1 i xi (1 i n) sa avem:
|(f,)-ik|< /2 (k=1, 2).

Luand = min(1,, 2,) rezulta ca pentru orice diviziune a lui [a, b] cu ||||< si orice sistem (i) de puncte intermediare asociat lui, avem:

|(f,)-i1| < /2 si |(f,)-i2| < /2,
deci: |i1 i2| < |i1 (f,)| + |(f,)-i2| < /2+/2 =.
Cum > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1i2 contradictie.
Deci if este unic.
2) f: [a, b]R
f integrabila in sens Riemann pe [a, b] f marginita pe [a, b]
Demonstratie:

f integrabila pe [a, b] if R a. i. o diviziune a lui [a, b] si > 0, > 0 pentru care ||||< |(f, i) if |< i un sistem de puncte intemediare.

Arat ca f este marginita pe [xk-1, xk]
x, ik
Fie i=
xi, i=k
n n
(f, i) = f(i)*(xi-xi-1) = f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1)
i=1 i=1
ik
|(f, i) if | <
< (f, i) if < /+ if
+ if < (f, i) < + if
n
+ if < f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) < + if
i=1
ik
1/(xk-xk-1)*[ + if f(xi)*(xi-xi-1)] < f(x) < 1/(xk-xk-1)*[ + if f(xi)*(xi-xi-1)]
[] []
M1 M2
M1< f(x) < M2
f marginita pe [xk-1, xk] k {1, 2, …, n} f marginita pe [a, b]
3) f, g: [a, b] R
A[a, b]
A finita, cu proprietea:
i)
g integrabila pe [a, b]
ii)
f(x)=g(x) x[a, b]\A
atunci: a) f integrabila pe [a, b]
b b
b) g(x)*dx = f(x)*dx
a a
Demonstratie:

Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A={c}.

Functia g fiind integrabila, este marginita, deci M1 0 astfel incat:
|g(x)| M1 x[a, b]
Luand M = max(M1, |f(c)|) f(x) M si g(x) M x[a, b].
g integrabila > 0, > 0 a. i.:
b
1) | (g, i) g(x)*dx | < /2
a
= (x0, x1, …, xn), cu |||| < si sistemul de puncte intermediare i.
Luand = min (, /(8*M)), avem si 4*M* /2.

Daca c este un punct al diviziunii, atunci 0 i n astfel incat c = xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele j sau j+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) x c, obtinem:

| (g, i) (f, i) | = | (g(i) f(i))*(xi xi-1)| | g(j) f(j)|*(xj xj-1) + | g(j+1) f(j+1)|*(xj+1 xj) 4*M*|||| < 4*M* < /2

Daca c nu este punct al diviziunii, atunci c este continut intr-un interval deschis
(xk-1, xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul k, prin urmare:
| (g, i) (f, i) | = | (g(i) f(i))*(xi xi-1)| | g(k) f(k)|*(xk xk-1) 2*M*|||| 2*M* < /2
Din analiza facuta pana acum rezulta ca:
2) | (g, i) (f, i) | < /2
Din 1) si 2) obtinem:
b
| (f, i) g(x)*dx | <
a
b b
adica f este integrabila si: f(x)*dx = g(x)*dx.
a a
EXEMPLE:
1)
f: [a, b] R
f(x) = k
a
f integrabila si k*dx = k*(b-a)
b
if = k*(b-a) a. i. > 0 > 0 cu proprietatea ca = (x0=a< x1< …< xn=b) si
i [xi-1, xi], ||||< |(f, i) if |<
(f, i) = f(i)*(xixi-1) = k(xixi-1) = k* (xixi-1) = k(x1x0+x2x1+…+xnxn-1) =
= k*(xn x0) = k*(b-a)
|(f, i) if | = |k*(b-a) k*(b-a)| = 0 < > 0.
2)
f, g: [a, b] R
1, pentru xQ -1, pentru xQ
f(x) = g(x) =
-1, pentru xR\Q 1, pentru xR\Q
f, g nu sunt integrabile
Demonstratie pentru f(x):
Fie = (a=x0< x1< …< xn=b), avem:
1*(xi xi-1) = b-a, pentru i Q
(f,) =
(-1)*(xi xi-1) = a-b, pentru i R\Q
Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor i, functia nu este integrabila.
Demonstratia se face analog pentru g(x).
Desi f, g nu sunt integrabile functiile:
(f+g)(x) = 0 x[a, b]
(f*g)(x) = -1 x[a, b]
(fog)(x) = 1 x[a, b]
sunt integrabile ca fiind functii constante.
3)
Sa se cerceteze integrabilitatea functiei:
0, daca x este irational sau x = 0
G(x) =
1/q, daca x = p/q, p/q fractie ireductibila

Rezolvare: Functia este integrabila pe segmentul [0, 1]. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul [0, 1] avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie...

Nota: Textul de mai sus reprezinta doar un extras din referat. Pentru versiunea completa a documentului apasa butonul Download.