• Referate Anatomie
• Referate Astronomie
• Referate Automatica
• Referate Biologie
• Referate Chimie
• Referate Diverse
• Referate Drept
• Referate Economie
• Referate Engleza
• Referate Filosofie
• Referate Fizica
• Referate Franceza
• Referate Geografie
• Referate Germana
• Referate Informatica
• Referate Istorie
• Referate Marketing
• Matematica
• Referate Medicina
• Referate Muzica
• Referate Psihologie
• Referate Religie
• Referate Romana

Link sponsorizat :

I N T R O D U C E R E I N G E O M E T R I A

D I F E R E N T I A L A A F I N A
Partea I
de Katsumi Nomizu
Prefata
Aceasta este partea I a notelor de lectura: Introducere in geometria
diferentiala afina. A fost intentionata ca o scurta introducere in geometria
diferentiala afina clasica, adica, geometriei hipersuprafetelor nedegenerate
intr-un spatiu afin pentru care grupul fundamental (in intelesul dat de
Programul Erlangen al lui F. Klein) este grupul transformarilor echiafine
(=special afine).
Cind am devenit interesat de acest subiect, primul meu scop a fost sa inteleg
despre ce era vorba intr-adevar. In aceste note am expus modul meu de a intelege
aceasta geometrie dintr-un punct de vedere obisnuit in geometria diferentiala in
zilele noastre. Cu toate ca a fost scris intr-o forma concisa, sper ca va oferi
cititorului o introducere pe intelesul sau. Intentionez sa continui cu partea II
si posibil cu partea III in care as dori sa prezint mai multe rezultate prin
prisma geometriei diferentiale afine clasice, impreuna cu cercetarile facute in
directia unei abordari mai generale a geometriei " scufundarilor" afine.
Am inceput studiul pe aceasta tema la Institutul Max-Plank pentru Matematica,
la Bonn, in 1982, si am continuat cu cercetari ulterioare in colaborare cu
Ulrich Pinkall, in prezent aflat la Universitatea Tehnica Berlin, de unde au
provenit vizitele mele la Bonn si Berlin in ultimii ani. Aceste note, partea I,
sunt bazate pe lecturile si discutiile de la MPI, TU Berlin, Universitatea Brown
si Universitatea Canadei.
Bonn Katsumi Nomizu
Iulie 4, 1988
Cuprins
1. Structuri echiafine pe hipersuprafete nedegenerate
2. Ecuatii fundamentale
3. Graficul unei functii
4. Forma cubica si apolaritatea
5. Inca niste ecuatii
6. Teorema lui Pick si Berwald
7. " Scufundari" conormale
8. Suprafete afine homogene
9. Laplacianul distantei afine si armonicitatea maparii conormale
10. Un exemplu: SL(n, R)/SO(n)
11. Hipersuprafete local simetrice afin
1. Structuri echiafine pe hipersuprafete nedegenerate
Fie f: M  R o hipersuprafata in spatiul afin R. Pentru a dezvolta teoria
echiafina pentru M presupunem ca R este inzestrat cu o structura echiafina,
ceea ce inseamna ca are un element de volum fixat care este paralel fata de
conexiunea afina canonica obisnuita D in R.
Suntem interesati in introducerea unei structuri echiafine (, é) pe M, unde
este o conexiune afina invarianta la rotatii si é este un element de volum in
asa fel incit é =0. Vom presupune ca R este orientat in asa fel incit > 0 si ca
M este de asemenea orientat.
Vom construi mai intii o teorie locala. Alegem un cimp vectorial transversal
in vecinatatea U a lui M in asa fel incit sa avem
(1. 1) pentru fiecare xîU
in asa fel incit orientarea lui M urmata de coincide cu orientarea lui R.
Fie X si Y cimpuri vectoriale in U. Putem descompune D f (Y) folosind (1. 1) si
avem
(1. 2) in fiecare punct xîU.
La fel ca si in teoria clasica a hipersuprafetelor in spatiul Euclidian, putem
verifica ca este o conexiune afina invarianta la rotatii in U, h este un cimp
tensor care defineste o forma simetrica biliniara pe fiecare spatiu tangent
Tx(M).
Numim conexiunea afina determinata si h forma afina fundamentala corespunzind
lui
Putem de asemenea descompune D dupa cum urmeaza:
(1. 3)
unde S este un cimp tensor de tipul (1, 1), numit operatorul de forma, si este o
l-forma, numita forma de conexiune transversala.
Acum vom defini elementul de volum determinat é in U punind
(1. 4)
si sperind sa obtinem proprietatea é =0. Avem
Lema 1. 1. pentru fiecare XîT (M).
Demonstratie. Avem
unde am folosit D =0 si D = (X).
De aici proprietatea =0, adica D este tanget la M, este cruciala. Vom
vedea ca in anumite conditii de nedegenerare pe M putem alege cu aceasta
proprietate si, intr-adevar, cu o proprietate aditionala, care va face alegerea
sa unica. Pentru acest scop avem
Lema 1. 2. Daca alegem un alt cimp vectorial transversal, unde > 0,
atunci pentru obiectele corespunzatoare avem
(i)
(ii)
(iii)
unde h(., Z) este o l-forma a carei valoare pe X este h(X, Z).
Demonstratie. Verificare directa.
Din (i) avem ca h este determinat pina la o functie scalara > 0. In
particular, daca h este degenerata sau nedegenerata depinde numai de M si nu de
alegerea lui. Daca h este nedegenerata in fiecare punct, spunem ca M este
nedegenerat.
Lema 1. 3. Fie M nedegenerat. Daca este un cimp vectorial transversal si o
functie arbitrara scalara > 0, atunci exista un cimp vectorial Z pe M in asa
fel incit pentru forma conexiunii transversale este 0.
Demonstratie. Deoarece h este nedegenerata, putem gasi Z in fiecare T (M) in
asa fel incit
h(X, Z)=- (X) - (d)(X)
pentru fiecare XîT (M). Din (ii) din Lema 1. 2 avem =0.
Observatie. Daca doua cimpuri vectoriale transversale si sunt in asa fel
incit = si é =é, atunci =. Defapt, é =é implica =1. (iii) din Lema 1. 2
implica Z=0.
Pentru ...

Nota: Textul de mai sus reprezinta doar un extras din referat. Pentru versiunea completa a documentului apasa butonul Download.